Sadržaj
Naše suvremeno shvaćanje kardinalnosti potječe od rada Georg Cantora u 1890-im godinama, a kompleti mogu imati tri vrste kardinala: konačna, brojljiva i bezbrojna. Konačni skupovi mogu imati određeni dodijeljeni broj, kao što je njihova kardinalnost: broj stavki u skupu. I brojni i bezbrojni skupovi su beskonačni. Cantor je bio prvi matematičar koji je istaknuo da je obilježje beskonačnog skupa to što se može staviti u jedan-na-jedan dopisivanje, s vlastitim podskupom sebe.
smjerovi
-
Dajte određeni broj za skupinu kardinalnosti ako je konačan. Za ove skupove, kardinalnost je broj objekata unutar njega. Za beskonačnost, nemoguće je odrediti određeni broj za kardinalnost - možemo koristiti samo jednu opisnu riječ. Podskup skupa je onaj koji sadrži neke - ali ne sve - od skupa brojeva, ali nijednog koji nije unutar njega. Na primjer, podskup slova u portugalskoj abecedi su slova u riječi "banana". Za konačne skupove, odgovarajući podskupovi su manji od skupa. Što ne vrijedi za beskonačne skupove.
-
Počnite s određenim elementom skupa i zauvijek, na specifičan način, nabrojite sve elemente skupa. To je definicija računovodstva beskonačnog skupa. Ključno je da postoji algoritam za popis svih elemenata zauvijek. Arhetipski brojivi beskonačni skup je broj prirodnih brojeva. Počnite s "jednim" i nastavite sa sljedećim rednim brojem. Ne možete dati broj kardinalnosti, samo ćete reći da je vječni. Imajte na umu da za svaki cijeli broj postoji odgovarajući parni broj koji će biti dvostruko veći. Postoji toliko mnogo prirodnih brojeva koliko ima čak i brojeva. Postoji podudarnost jedan-na-jedan između skupa i odgovarajućeg podskupa tog skupa.
-
Usporedite skup s brojevima između nule i jedan, da vidite je li to bezbroj beskonačnih. Ne možete ih početi brojati jer nema "sljedećeg" broja iza broja između nula i jedan. Cantor je dao primjer koji pomaže u intuitivnom razumijevanju bezbrojnih skupova: točaka i linija. Točke nisu dugačke niti široke, čak i ako je linija sastavljena od točaka. Ako su crte beskonačnost točaka, duljina linije bi bila 0 + 0 + 0 i tako dalje, zauvijek. Redovi moraju imati bezbroj točaka.
savjeti
- Cantorov test jest vidjeti da li dva seta imaju istu kardinalnost, ako se elementi skupa mogu podudarati jedan po jedan s drugim.
upozorenje
- Aritmetika će raditi samo za konačne skupove. Ako je N i brojljivo i bezbroj beskonačnosti, N + 1 = 200N = N + N = N.